|
|
|
|
（A、 ＞0） |
|
定义域 |
R |
R |
R |
|
值域 |
|
|
|
|
周期性 |
|
|
|
|
奇偶性 |
奇函数 |
偶函数 |
当 非奇非偶, 当 奇函数 |
|
单调性 |
上为增函数；
上为减函数.
（ ） |
上为增函数;
上为减函数.
（ ） |
上增函数；
上减函数（ ） |
|
|
|
|
|
定义域 |
|
|
|
值域 |
R |
R |
|
周期性 |
|
|
|
奇偶性 |
奇函数 |
奇函数 |
|
单调性 |
上为增函数（ ） |
上为减函数（ ） |
2010高考数学复习详细资料(精品)——三角函数性质与图像
知识清单：
注意：反三角数符号只表示这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公式变到这个范围.备注：
以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象.
函数 的图像和性质以函数 为基础,通过图像变换来把握.如① ② (A>0, >0)相应地，
①的单调增区间
的解集是②的增区间.
注:
⑴ 或 （ ）的周期 ;
⑵ 的对称轴方程是 （ ），对称中心 ；
的对称轴方程是 （ ），对称中心 ；
的对称中心（ ）.
课前预习
1．函数 的最小正周期是 .
2． 函数 的最小正周期T= ．
3．函数 的最小正周期是（ ）
(A) (B) (C) (D)
4．函数 为增函数的区间是( )
(A) (B) (C) (D)
5．函数 的最小值是（ ）
6．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
(A)向右平移 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度
(C)向左平移 个单位长度 (D)向左平移 个单位长度
7．将函数 的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移 个单位，所得图象的解析式是__________________.
8． 函数 在区间[ ]的最小值为______.
9．适合 的角 是（ ）
10．已知f(x)=5sinxcosx- cos2x+ （x∈R）
⑴求f(x)的最小正周期；
⑵求f(x)单调区间；
⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。
11．求函数f (x)= 的单调递增区间
12．求 的值.
典型例题
EG1、三角函数图像变换
将函数 的图像作怎样的变换可以得到函数 的图像？
变式1：将函数 的图像作怎样的变换可以得到函数 的图像？
变式2：将函数 的图像作怎样的变换可以得到函数 的图像？
变式3：将函数 的图像作怎样的变换可以得到函数 的图像？
EG2、三角函数图像
函数 一个周期的图像如图所示，试确定A， 的值．
变式1：已知简谐运动 的图象经过点 ，则该简谐运动的最
小正周期 和初相 分别为（ ）
Ａ． ， Ｂ． ， Ｃ． ， Ｄ． ，
变式2：函数 在区间 的简图是（ ）
变式3：如图，函数
的图象与 轴交于点 ，且在该点处切线的斜率为 ．
求 和 的值．
EG3、三角函数性质
求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时 的值的集合．
(1) ； (2)
变式1：已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等
于 （ ）
（A） （B） （C）2 （D）3
变式2：函数y=2sinx的单调增区间是（ ）
A．［2kπ－ ，2kπ＋ ］（k∈Z）B．［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）
C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）
变式3：关于x的函数f（x）=sin（x+ ）有以下命题：
①对任意的 ，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在 ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
③存在 ，使f（x）是奇函数；
④对任意的 ，f（x）都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当 =_____时，该命题的结论不成立。
变式4、函数 的最小正周期是 .
变式5、下列函数中，既是（0， ）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )
(A)y=lgx2 (B)y=|sinx| (C)y=cosx (D)y=
变式6、已知 ，求函数 的值域
变式7、已知函数
⑴求它的定义域和值域；
⑵求它的单调区间；
⑶判断它的奇偶性；
⑷判断它的周期性.
EG4、三角函数的简单应用
电流I随时间t 变化的关系式 ， ，设 ， ．
(1) 求电流I变化的周期；
(2) 当 (单位 )时，求电流I．
变式1：已知电流I与时间t的关系式为 ．
（１）右图是 （ω＞0， ）
在一个周期内的图象，根据图中数据求 的解析式；
（２）如果t在任意一段 秒的时间内，电流 都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
变式2：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似
满足函数y=Asin（ωx＋ ）＋b.
（Ⅰ）求这段时间的最大温差；
（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．
变式3：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平
衡位置O的距离s厘米和时间t秒的函数关系为 .
（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？
（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？
（3）单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？
EG5、三角恒等变换
化简： ．
变式1：函数y＝ 的最大值是（ ）．
A. －1 B. ＋1 C.1－ D.－1－
变式2：已知 ，求 的值．
变式3：已知函数 ， ．求 的最大值和最小值．
实战训练
1．方程 （ 为常数， ）的所有根的和为 ．
2．函数 的最小正周期为
3．若函数 的图象（部分）如图所示，则 的取值是( )
(A) (B) (C) (D)
4. 函数 的最小正周期是_____
5．函数 的最大值等于
6．（07年浙江卷理2）若函数 ， （其中 ， ）的最小正周期是 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2007年辽宁卷7）．若函数 的图象按向量 平移后，得到函数 的图象，则向量 （ ）
A． B． C． D．
8．（2007年江西卷文2）．函数 的最小正周期为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9．（2007年江西卷文8）．若 ，则下列命题正确的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．（2007年湖北卷理2）．将 的图象按向量 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．（2007年海南宁夏卷理3）．函数 在区间 的简图是（ ）
12．（2007年广东卷理3）．若函数 ，则f(x)是
（A）最小正周期为 的奇函数； （B）最小正周期为 的奇函数；
（C）最小正周期为2 的偶函数； （D）最小正周期为 的偶函数；
13．（2007年福建卷理5）．已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于直线 对称
14．（2007年福建卷文5）．函数 的图象（ ）
Ａ．关于点 对称 Ｂ．关于直线 对称
Ｃ．关于点 对称 Ｄ．关于直线 对称
15．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为 的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2007年江苏卷5）．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
17．（2007年天津卷文9）设函数 ，则 （ ）
A．在区间 上是增函数 B．在区间 上是减函数
C．在区间 上是增函数 D．在区间 上是减函数
18．（07年山东卷文4）．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
19．（07年全国卷二理2）．函数 的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
20．（2007年全国卷一理12）函数 的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
21．（2007年安徽卷理6）函数 的图象为
①图象 关于直线 对称;
②函灶 在区间 内是增函数;
③由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 .
其中正确的个数有（ ）个
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
22．（2007年北京卷文3）．函数 的最小正周期是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
23．（2007年四川）下面有五个命题：
①函数 的最小正周期是 .
②终边在y轴上的角的集合是
③在同一坐标系中，函数 的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号）
24．（07年重庆卷理）设f (x) =
（1）求f(x)的最大值及最小正周期；
（2）若锐角 满足 ，求tan 的值。
24．（2007年重庆卷文）（18）已知函数 。
（Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）若角a在第一象限且
25．(2007年辽宁卷19）．（本小题满分12分）
已知函数 （其中 ）
（I）求函数 的值域；
（II）若函数 的图象与直线 的两个相邻交点间的距离为 ，求函数 的单调增区间．
26．已知函数 ， ．
（1）求函数 在 内的单调递增区间；
（2）若函数 在 处取到最大值，求 的值；
（3）若 （ ），求证：方程 在 内没有实数解．
（参考数据： ， ）
实战训练B
1.（全国一8）为得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
2.（全国二8）若动直线 与函数 和 的图像分别交于 两点，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4.（四川卷５）若 ，则 的取值范围是：( )
A B C D
5.（天津卷6）把函数 （ ）的图象上所有点向左平行移动 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
A ， B ，
C ， D ，
6.（天津卷9）设 ， ， ，则
A B C D
7.（安徽卷5）将函数 的图象按向量 平移后所得的图象关于点 中
心对称，则向量 的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
8.（湖北卷5）将函数 的图象F按向量 平移得到图象 ,若 的一条对称轴是直线 ,则 的一个可能取值是
A. B. C. D.
9.（湖南卷6）函数 在区间 上的最大值是( )
A.1 B. C. D.1+
10.（重庆卷10)函数f(x)= ( ) 的值域是
A[- ] B[-1,0] C[- ] D[- ]
11.（福建卷9)函数f(x)=cosx(x)(x R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为
A. B. C.－ D.－
12.（浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线 的交点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
13.（海南卷1）已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ）
A. 1 B. 2
C. 1/2 D. 1/3
14.（上海卷6）函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是
15.（江苏卷1） 的最小正周期为 ，其中 ，则 = ．
16.（广东卷12）已知函数 ， ，则 的最小正周期是 ．
17.（辽宁卷16）已知 ，且 在区间 有最小值，无最大值，则 ＝__________．
18．（北京卷15）．（本小题共13分）
已知函数 （ ）的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的取值范围．
19．（四川卷17）．（本小题满分12分）
求函数 的最大值与最小值。
20．（天津卷17）（本小题满分12分）
已知函数 （ ）的最小值正周期是 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 的最大值，并且求使 取得最大值的 的集合．
21．（安徽卷17）．已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数 在区间 上的值域
22．（山东卷17）已知函数f(x)＝ 为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）f（ ）的值；
（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
23．（湖北卷16）.已知函数
（Ⅰ）将函数 化简成 （ ， ， ）的形式；
（Ⅱ）求函数 的值域.
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由．
25．（广东卷16）．已知函数 ， 的最大值是1，其图像经过点 ．
（1）求 的解析式；
（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
|
