知识清单：
1.一元一次函数： ，当 时，是增函数；当 时，是减函数；
2.一元二次函数：
一般式: ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；
顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；
⑴一元二次函数的单调性：
当 时： 为增函数； 为减函数；
当 时： 为增函数； 为减函数；
⑵二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 的形式，
(Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
(Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
⑶二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则：
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根的情况 |
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等价命题 |
在区间 上有两根 |
在区间 上有两根 |
在区间 或 上有一根 |
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充要条件 |
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a·f(k)<0 |
另外:①二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(p<q)
②二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根 f(p)·f(q)<0，或 （检验）或 （检验）。
③若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。
注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。
特别指出,分段函数也是重要的函数模型。
3.指数函数： （ ），定义域R，值域为（ ）.⑴①当 ，指数函数： 在定义域上为增函数；②当 ，指数函数： 在定义域上为减函数.⑵当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.
4.对数函数：如果 （ ）的 次幂等于 ，就是 ，数 就叫做以 为底的 的对数，记作 （ ，负数和零没有对数）；其中 叫底数， 叫真数.
⑴对数运算：
例如： 中x＞0而 中x∈R）.
⑵ （ ）与 互为反函数.
当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.
5．幂函数
（1）幂函数的定义： 。
（2）幂函数的性质：
①所有幂函数在 上都有意义，并且图像都过点 。
②如果 ，则幂函数图像过原点，并且在区间 上为增函数。
③如果 ，则幂函数图像在 上是 。在第一象限内，当 从右边趋向于原点时，图像在 轴右方无限地逼近 。当 趋向于 时，图像在 轴右方无限地逼近 。
④当 为奇数时，幂函数为 ，当 为偶数时，幂函数为 ，
（3）幂函数 ，当 时，若 其图像在直线 的下方，若 ，其图像在直线 的上方；当 时，若 其图像在直线 的上方，当 时，若 其图像在直线 的下方。
课前预习
1. 当0≤x≤1时，函数y=ax+a－1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（ ）
(A)a< (B)a>1 (C)a< 或a>1 (D) <a<1
2.已知函数 在 上递增，则 的取值范围是( )
（A） （B）
（C） （D）
3. 已知二次函数 的图像开口向上，且 ， ，则实数 取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
4.设函数 ，则方程 的解为
5.函数 ( ，且 )的图象必经过点( )
(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2)
6.
7.设 且 ,
⑴ 求证: ;⑵比较 的大小.
8.已知 ， ,
试比较 的大小。
9.求函数 的单调减区间，并用单调定义给予证明。
10. 求下列函数的定义域、值域：
① ; ②
11． 已知函数 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．
典型例题
1、解析式、待定系数法
EG1．若 ，且 ， ，求 的值．
变式1：若二次函数 的图像的顶点坐标为 ，与y轴的交点坐标为(0,11)，则
A． B．
C． D．
变式2：若 的图像x=1对称，则c=_______．
变式3：若二次函数 的图像与x轴有两个不同的交点 、 ，且 ，试问该二次函数的图像由 的图像向上平移几个单位得到？
2、图像特征
EG2：将函数 配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．
变式1：已知二次函数 ，如果 (其中 )，则
A． B． C． D．
变式2：函数 对任意的x均有 ，那么 、 、 的大小关系是
A． B．
C． D．
变式3：已知函数 的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．
3．单调性
EG3：已知函数 ， ．
(1)求 ， 的单调区间；(2) 求 ， 的最小值．
变式1：已知函数 在区间 内单调递减，则a的取值范围是
A． B． C． D．
变式2：已知函数 在区间(,1)上为增函数，那么 的取值范围是_________．
变式3：已知函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围．
4．最值
EG4已知函数 ， ．
(1)求 ， 的单调区间；(2) 求 ， 的最小值．
变式1：已知函数 在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是
A． B． C． D．
变式2：若函数 的最大值为M，最小值为m，则M + m的值等于________．
变式3：已知函数 在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．
5．奇偶性
EG5：已知函数 是定义在R上的奇函数，当 ≥0时， ．画出函数 的图像，并求出函数的解析式．
变式1：若函数 是偶函数，则在区间 上 是
A．增函数 B．减函数 C．常数 D．可能是增函数，也可能是常数
变式2：若函数 是偶函数，则点 的坐标是________．
变式3：设 为实数，函数 ， ．
(I)讨论 的奇偶性；
(II)求 的最小值．
6．图像变换
EG6、已知 ．
(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．
变式1：指出函数 的单调区间．
变式2：已知函数 ．
给下列命题：① 必是偶函数；
② 当 时， 的图像必关于直线x=1对称；
③ 若 ，则 在区间[a，＋∞ 上是增函数；
④ 有最大值 ．
其中正确的序号是________．③
变式3：设函数 给出下列4个命题：
①当c=0时， 是奇函数；
②当b=0，c>0时，方程 只有一个实根；
③ 的图象关于点（0，c）对称；
④方程 至多有两个实根．
上述命题中正确的序号为 ．
7．值域
EG7：求二次函数 在下列定义域上的值域：
(1)定义域为 ；(2) 定义域为 ．
变式1：函数 的值域是
A． B． C． D．
变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是__________．
变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根．
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果
存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由．
8．恒成立问题
EG8：当 具有什么关系时，二次函数 的函数值恒大于零？恒小于零？
变式1：已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．
(I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；
(II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．
变式2：已知函数 ，若 时，有 恒成立，求 的取值范围．
变式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不论 a、b 为何实数，恒有 f (sin a )≥0，f (2 + cos b )≤0．
(I) 求证：b + c = －1；
(II) 求证： c≥3；
(III) 若函数 f (sin a ) 的最大值为 8，求 b、c 的值．
9．根与系数关系
右图是二次函数 的图像，它与x轴交于点 和 ，试确定 以及 ， 的符号．
变式1：二次函数 与一次函数 在同一个直角坐标系的图像为
变式2：直线 与抛物线
中至少有一条相交，则m的取值范围是．
变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0 Î R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x1、x2．
(I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > ；
(II)若 | x1 | < 2 且 | x1－x2 | = 2，求 b 的取值范围．
10．应用
EG：绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
变式1：在抛物线 与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．
变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）
(1)
分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？
变式3：设a为实数，记函数 的最大值为g(a) ．
（Ⅰ）求g(a)；（Ⅱ）试求满足 的所有实数a．
11、指数函数
EG：已知下列等式，比较 ， 的大小：（1） (2)
变式1：设 ，那么 （ ）
A.a ＜a ＜b B.a ＜ b ＜a
C.a ＜a ＜b D.a ＜b ＜a
变式2：函数 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则 的值为（ ）
A． B.2 C.4 D.
变式3：已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于直线 对称，记 ．若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12、对数函数
EG：已知函数 ， ，且
（1） 求函数 定义域
（2） 判断函数 的奇偶性，并说明理由.
变式1：已知 是偶函数，定义域为 .则 ，
变式2：若函数 是奇函数，则
变式3：设 则 __________
变式4：已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是
A. B. C. D.
EG2：若 ，且 ，求实数 的取值范围.
变式1：若 ，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
变式2：设 ，函数 ，则使 的 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
变式3：已知 ，则 （ ）
A． B. B. D.
13、幂函数
EG．已知点 在幂函数 的图象上，点 ，在幂函数 的图象上．
问当x为何值时有：（１） ；（２） ；（３） ．
分析：由幂函数的定义，先求出 与 的解析式，再利用图象判断即可．
变式：函数 的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（ ）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
实战训练
一、选择
1．设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 www.xkb123.com
A． B．2 C． D．4
2．函数 的反函数是 ( )
A. B.
C. D.
3．设 均为正数，且 则 ( )
A. B. C. D.
4．设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有 值为
（A） （B） （C） （D）
5．以下四个数中的最大者是
(A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln (D) ln2
6．函数 的反函数的定义域为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．设函数 定义在实数集上，它的图像关于直线 对称，且当 时， ，则有（ ）
A． B．
C． D．
8．设 是奇函数，则使 的 的取值范围是（A）
A． B． C． D．
9．函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
二、填空
1．函数 的定义域是____________________．
2．若函数 在区间 内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是 ．
3．已知函数 的定义域和值域都是 ，则实数a的值是 ．
4．定义：区间 的长度为 .已知函数 定义域为 ，值域为 ，则区间 的长度的最大值为 .；
5．
6．函数 的定义域是 .
7．若方程 的解为 ，则不小于 的最小整数是 ．
8．如图，函数 的图象在点P处的切线是 ，则 = ．
9．函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 ____________。
10．函数 的定义域为
11．方程 的解是
12．设函数 ，则其反函数的定义域为 ．
13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）成正比；
药物释放完毕后，
与 的函数关系式为 （ 为常数），如图所示．
据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）之间的函数关系式为 ；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过
小时后，学生才能回到教室．
14．若函数 （ 是自然对数的底数）的最大值是 ，且 是偶函数，则 ________．
三、解答
1．已知a是实数，函数 ，如果函数 在区间 上有零点，求a的取值范围.
2．已知函数 (x>0)在x = 1处取得极值 ，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式 恒成立，求c的取值范围。
3．已知函数
（Ⅰ）若 ，试确定函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；
4．已知函数
（Ⅰ）试判断 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当 时，求证
5．已知函数
（Ⅰ）求函数 的图象在 处的切线方程；
（Ⅱ）求 的最大值；
6．设函数 ．
（1）当k=2时，求函数f(x)的增区间；
（2）当k＜0时，求函数g(x)= 在区间（0，2]上的最小值．
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