一、 知识清单
1．映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。
2．函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。
3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。
4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。
5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.
注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.
⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
① 函数 的值域为R;
② 二次函数
当 时值域是 ,当 时值域是 ]；
③ 反比例函数 的值域为 ；
④ 指数函数 的值域为 ；
⑤ 对数函数 的值域为R；
⑥ 函数 的值域为[-1，1]；
⑦ 函数 , 的值域为R；
二、 课前练习
1.若 ， ,则 到 的映射有 个， 到 的映射有 个；若 ， , 则 到 的一一映射有 个。
2. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射 把集合A中的元素 映射到集合B中的元素 ，则在映射 下，象20的原象是 ( )
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3.已知扇形的周长为20，半径为 ，扇形面积为 ，则 ；定义域为 。
4. 求函数 的定义域.
5. 若函数 的定义域为[-1,1]，求函数 的定义域。
6.已知 (x¹0), 求 .
7. 求函数 的值域.
8. 下列函数中值域为 的是( )
(A) (B) (C) (D)
三、 典型例题
EG1、A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有 个。
变式1、若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.
变式2、集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的个数是多少？
EG2、设函数 ， ，求函数 的定义域.
变式1： 函数 的定义域是
A. B. C. D.
变式2：设 ，则 的定义域为
A. B. C. D.
函数值域
求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等到相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法．
一、用非负数的性质
例１ 求下列函数的值域：y=-3x2+2;
变式：y=5+2 (x≥-1).
二． 分离常数法
对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．
例２ 求下列函数的值域：y=
变式2、y= .
三、利用函数单调性
已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法．
例３ 求函数y=3x- 的值域.
四、利用判别式
特殊地，对于可以化为关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用 ．
例4 求函数y = 的最值．
变式： ；
五、利用数形结合
数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外．
例5 若（x+ ）(y- )=0,求x-y的最大、最小值．
变式：函数 的值域 .
六、利用换元法求值域
有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑．
例6 求函数y=2x-5+ 的值域．
变式：求函数 的值域
七、利用反函数求值域
因函数y=f(x)的值域就是反函数y=f-1(x)的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域．
例7 求函数y= (x＞0)的值域．
变式：函数 y＝ 的值域是 由ex＝ ＞0，得值域为(-∞，-1)∪(2，+∞)；
八、利用已知函数的有界性．
例8 求函数y= 的值域.
变式：求下列函数的值域
（1）
（2） ；
函数解析式
一、定义法：
例1：设 ，求 .
变式1：设 ，求 .
变式2：设 ，求 .
变式3：设 .
二、待定系数法：
例2：已知 ，求 .
变式1、已知 是一次函数，且满足 ，求 ；
三、换元（或代换）法：
例3：已知 求 .
变式1：设 ，求 .
变式2：若 求 .
变式3：设 ，求 。
四、微积分法：
例4：设 ，求 .
四、 实战训练
1、(07安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
2、（07陕西文2）函数 的定义域为
（A）［0，1］ （B）（-1，1）
（C）［-1，1］ （D）（-∞，-1）∪（1，+∞）
3、（07山东文13）设函数 则 ．
4、（07北京文14）已知函数 ， 分别由下表给出
则 的值为 ；当 时， ．
5、（07北京理14）已知函数 ， 分别由下表给出
则 的值为 ；满足 的 的值是 ．
6、（07上海理1）函数 的定义域为
7、（07湖北文理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）成正比；
药物释放完毕后，
与 的函数关系式为 （ 为常数），如图所示．
据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）之间的函数关系式为 ；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
8、(07浙江文11)函数 的值域是______________．
9．（08北京模拟）若函数 的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的
为 。
10 （08北京模拟）对于任意实数 ， ，定义 设函数
，则函数 的最大值是__________ .
11．（08北京模拟）已知函数 的定义域是 ，值域是 ，那么满足条件的整数数对 共有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C） 5个 （D）无数个
12.（08全国）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
13.（08四川）设定义在 上的函数 满足 ，若 ，则 ( )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
14.（08江西）若函数 的值域是 ，则函数 的值域是
A． B． C． D．
15.（08湖北）函数 的定义域为
A. B.
C. D.
16.（08陕西）定义在 上的函数 满足 （ ）， ，则 等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
17.（08重庆)已知函数y= 的最大值为M,最小值为m,则 的值为
(A) (B) (C) (D)
18.（08安徽）函数 的定义域为 ．
19.（08湖南卷14）已知函数 若a＞0,则 的定义域是 ;
20．（07陕西）设函数f(x)= 其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.
21．（07北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 ，短半轴长为 ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 是半椭圆的短轴，上底 的端点在椭圆上，记 ，梯形面积为 ．
（I）求面积 以 为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积 的最大值．
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