知识清单：
1．不等式的性质：
⑴(对称性或反身性) ;
⑵(传递性) ;
⑶(可加性) ,此法则又称为移项法则;
(同向可相加)
⑷(可乘性) .
(正数同向可相乘)
⑸(乘方法则)
⑹(开方法则)
⑺(倒数法则)
注意：
条件与结论间的对应关系，是“ ”符号还是“ ”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。
运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段.
2．定理1：
如果a,b∈{x|x是正实数}，那么 ≥ （当且仅当a=b时取“=”号）.
注：该不等式可推出:当a、b为正数时,
（当且仅当a = b时取“=”号）
即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
2.含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
⑴
⑵由
可推出
( , );
⑶如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么 .
（当且仅当a=b=c时取“=”号）
3.绝对值不等式：
注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),
特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.
课前预习
1．（06上海文，14）如果 ，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．（06江苏，8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
3．（2003京春文，1）设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是
A.a+c>b+d B.a－c>b－d C.ac>bd D.
4．（1999上海理，15）若a<b<0，则下列结论中正确的命题是（ ）
A 和 均不能成立
B. 和 均不能成立
C.不等式 和（a+ ）2>（b+ ）2均不能成立
D.不等式 和（a+ ）2>（b+ ）2均不能成立
5．（06浙江理，7）“a＞b＞0”是“ab＜ ”的（ ）
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件
6．（1）（2001京春）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（ ）
A.18 B.6 C.2 D.2
7．（2000全国，7）若a＞b＞1，P＝ ，Q＝ （lga＋lgb），R＝lg（ ），则（ ）
A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q
2010高考数学复习详细资料（精品）——不等式证明
知识清单：
一、常用的证明不等式的方法
1．比较法
比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。
2．综合法
利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。
综合法证明不等式的逻辑关系是： ，及从已知条件 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 。
3．分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。
注意：
（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；
（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。
二、不等式的解法
解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。
高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。
1．不等式同解变形
（1）同解不等式（(1) 与 同解；
（2） 与 同解， 与 同解；
（3） 与 同解）；
2．一元一次不等式
解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。
情况分别解之。
3．一元二次不等式
或 分 及 情况分别解之，还要注意 的三种情况，即 或 或 ，最好联系二次函数的图象。
4．分式不等式
分式不等式的等价变形： >0 f(x)·g(x)>0， ≥0 。
5．简单的绝对值不等式
绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。
解绝对值不等式的常用方法：
①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；
②等价变形：
解绝对值不等式常用以下等价变形：
|x|>a x2>a2 x>a或x<－a(a>0)。
一般地有：
|f(x)|
|f(x)|>g(x) f(x)>g (x)或f(x)
6．指数不等式
；
；
7．对数不等式
等，
（1）当 时， ；
（2）当 时， 。
8．线性规划
（1）平面区域
一般地，二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示 某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。
说明：由于直线 同侧的所有点的坐标 代入 ，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点 ，从 的正负即可判断 表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当 时，通常把原点作为此特殊点。
（2）有关概念
引例：设 ，式中变量 满足条件 ，求 的最大值和最小值。
由题意，变量 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点 不在公共区域内，当 时， ，即点 在直线 ： 上，作一组平行于 的直线 ： ， ，可知：当 在 的右上方时，直线 上的点 满足 ，即 ，而且，直线 往右平移时， 随之增大。
由图象可知，当直线 经过点 时，对应的 最大，
当直线 经过点 时，对应的 最小，所以， ， 。
在上述引例中，不等式组是一组对变量 的约束条件，这组约束条件都是关于 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。 是要求最大值或最小值所涉及的变量 的解析式，叫目标函数。又由于 是 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解 和 分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
课前预习
1．已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求证 (a+ )(b+ )≥ 。
2．（06上海理，12）三个同学对问题“关于 的不等式 ＋25＋| －5 |≥ 在[1，12]上恒成立，求实数 的取值范围”提出各自的解题思路。
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；
乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；
丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”；
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 的取值范围是 。
3．（2002京皖春，1）不等式组 的解集是（ ）
A．｛x｜－1＜x＜1 B．｛x｜0＜x＜３
C．｛x｜0＜x＜1 D．｛x｜－1＜x＜３
4．不等式 >0的解集为（ ）
A.{x|x<1} B.{x|x>3}C.{x|x<1或x>3} D.{x|1<x<3}
5．不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ）
A．｛x｜0≤x＜1 B.｛x｜x＜0且x≠－1
C．｛x｜－1＜x＜1 D.｛x｜x＜1且x≠－1
6．不等式组 的解集是（ ）
A.｛x｜0＜x＜2 B.｛x｜0＜x＜2.5 C.｛x｜0＜x＜ D.｛x｜0＜x＜3
7．不等式（ ） ＞3－2x的解集是_____。
8．在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ）
A.（ ， ）∪（π， ） B.（ ，π）
C.（ ， ） D.（ ，π）∪（ ， ）
9．（06山东理，3）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（ ）
(A)（1，2） （3，+∞） (B)（ ，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
10．（1）（06安徽，10）如果实数 满足条件 ， 那么 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（06天津理，3）设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（06四川理，8）某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原料 和原料 分别为 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为 元，月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润 最大的数学模型中，约束条件为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
13．（06浙江理，3）在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是（ ）
(A) (B) (C) (D)
14．（06北京理，13）已知点 P（x，y）的坐标满足条件 点O为坐标原点，那么|PO |的最小值等于 ，最大值等于 。
典型例题
EG1、已知 ，求证： .
变式1：（1）如果 ，那么，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
变式2：设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）
A.a+c>b+d B.a－c>b－d C.ac>bd D.
EG2、若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
变式2：设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M ［1，4］，求实数a的取值范围？
EG3、求 的最大值，使 满足约束条件 .
变式1：设动点坐标（x，y）满足
（x－y+1）（x+y－4）≥0，x≥3，则x2+y2的最小值为( )
EG4、画出不等式组 表示的平面区域.
变式1：点（－2，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是______
变式2：求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积
EG5、
（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
变式2：设x≥0, y≥0, x2+ =1,则 的最大值为＿＿
EG6、已知集合 ， ，求 .
变式1：已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值
EG7、求证：
变式1：己知 都是正数，且 成等比数列，
求证：
EG8、要制造一个无盖的盒子，形状为长方体，底宽为2m。现有制盒材料60m2,当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？
变式1：今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论
实战训练
1（07全国2理科）.不等式: >0的解集为（）
(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)
(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)
2．（07北京理科6）若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 或
3．（07北京理科7）如果正数 满足 ，那么（ ）
A． ，且等号成立时 的取值唯一
B． ，且等号成立时 的取值唯一
C． ，且等号成立时 的取值不唯一
D． ，且等号成立时 的取值不唯一
4．（07北京理）已知集合 ， ．若 ，则实数 的取值范围是 ．
5（07上海理）已知 ，且 ，则 的最大值为
6．(07上海理)已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是( )
A、 B、 C、 D、
7．(07上海理)已知 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 ，若 成立，则 成立，下列命题成立的是（ ）
A、若 成立，则对于任意 ，均有 成立
B、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立
C、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立
D、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立
8（07天津理）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）
A．4 B．11 C．12 D．14
9（07天津理）设 均为正数，且 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
10．（07浙江理）“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
11．（07浙江理）不等式 的解集是_____________。
12．（07浙江理科）设 为实数，若 ，则 的取值范围是_____________。
13．（07湖北理）3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q= ，如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于（）
A．{x|0
14．（07福建．）“ ”是“ ”的什么条件……（ ）
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
15．（07福建）已知 是R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（07广东）．已知集合M={x|1+x>0}，N={x| >0}，则M∩N=（ ）
A．{x|-1≤x＜1 B．{x|x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x|x≥-1}
实战训练B
1．（07湖南理）．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（07湖南理）．设集合 ， ， ，（1） 的取值范围是 ；
（2）若 ，且 的最大值为9，则 的值是 ．
3．（07福建理）已知集合A＝ ，B＝ ，且 ，则实数 的取值范围是（）
A． B． a<1 C． D．a>2
4．（07福建理）已知 为R上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A．（－1，1） B．（0，1）
C．（－1，0） （0，1） D．（－ ，－1） （1，＋ ）
5．（07福建理）已知实数x、y满足 ，则 的取值范围是______；
6．（07重庆理）命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A．若 ，则 或 B.若 ，则
C.若 或 ，则 D.若 或 ，则
7．（07重庆理）若函数f(x) = 的定义域为R，则a的取值范围为_____.
8．（07山东理）．已知集合 ， 则 （）
(A) (B) (C) (D)
9．（07天津）（1）已知集合 ， ，则 A． B． C． D．
10．(07山东理)函数y=loga(x+3)-1(a>0,a 1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则 的最小值为 .
11．(07安徽理)若对任意 R,不等式 ≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
(A)a＜-1 (B) ≤1 (C) ＜1 （D）a≥1
12．（07安徽理5）若 ， ，则 的元素个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
13．（07江苏6）设函数 定义在实数集上，它的图像关于直线 对称，且当 时， ，则有
A． B．
C． D．
14．（07陕西理）给出如下三个命题：ZXXK.COM
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;ZXXK.COM
②设a,b∈R，则ab≠0若 ＜1，则 ＞1；
③若f(x)=log 2x=x,则f（|x|）是偶函数.其中不正确命题的序号是
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③Z
15．（07全国1）设 ， ，则
A． B． C． D．
16．（07北京15）记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ．（I）若 ，求 ；（II）若 ，求正数 的取值范围． |
