知识清单
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x 处有增量 ，那么函数y相应地有增量 =f（x + ）－f（x ），比值 叫做函数y=f（x）在x 到x + 之间的平均变化率，即 = 。如果当 时， 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x 处的导数，记作f’（x ）或y’| 。
即f（x ）= = 。
说明：
（1）函数f（x）在点x 处可导，是指 时， 有极限。如果 不存在极限，就说函数在点x 处不可导，或说无导数。
（2） 是自变量x在x 处的改变量， 时，而 是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量 =f（x + ）－f（x ）；
（2）求平均变化率 = ；
（3）取极限，得导数f’(x )= 。
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x 处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x ，f（x ））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x ，f（x ））处的切线的斜率是f’（x ）。相应地，切线方程为y－y =f/（x ）（x－x ）。
3．几种常见函数的导数:
① ② ③ ; ④ ;
⑤ ⑥ ; ⑦ ; ⑧ .
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则 .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ‘= （v 0）。
形如y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇| = y＇| ·u＇|
2010高考数学复习详细资料——导数应用
知识清单
1．单调区间：一般地，设函数 在某个区间可导，
如果 ，则 为增函数；
如果 ，则 为减函数；
如果在某区间内恒有 ，则 为常数；
2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3．最值：
一般地，在区间[a，b]上连续的函数f 在[a，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ 在(a，b)内的极值；
②求函数ƒ 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
4．定积分
（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝ (ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作： ，即 ＝ (ξi)△x。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式：
＝C；
＝ ＋C（m∈Q， m≠－1）；
dx＝ln ＋C；
＝ ＋C；
＝ ＋C；
＝sinx＋C；
＝－cosx＋C（表中C均为常数）。
（2）定积分的性质
① （k为常数）；
② ；
③ （其中a＜c＜b 。
（3）定积分求曲边梯形面积
由三条直线x＝a，x＝b（a<b），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积 。
如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a<b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝ 。
课前预习
1．求下列函数导数
（1） （2） （3）
（4）y= （5）y＝
2．若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．过点（－1，0）作抛物线 的切线，则其中一条切线为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．半径为r的圆的面积S(r)＝ r2,周长C(r)=2 r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则( r2)`＝2 r 1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于
1的式子： ；
2式可以用语言叙述为： 。
5．曲线 和 在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积是 。
6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1） ³0，则必有（ ）
A．f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）
C．f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
7．函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
8．已知函数 。（Ⅰ）设 ，讨论 的单调性；（Ⅱ）若对任意 恒有 ，求 的取值范围。
9． 在区间 上的最大值是（ ）
(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4
10．设函数f(x)=
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）讨论f(x)的极值。
11．设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点.求
(I)求点 的坐标；
(II)求动点 的轨迹方程.
12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
13．计算下列定积分的值
（1）
（2） ；
（3） ；
（4） ；
14．（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。
（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．
典型例题
一 导数的概念与运算
EG：如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ）
A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s
变式：定义在D上的函数 ，如果满足： ， 常数 ，
都有 ≤M成立，则称 是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
【文】（1）若已知质点的运动方程为 ，要使在 上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
【理】（2）若已知质点的运动方程为 ，要使在 上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
EG：已知 的值是（ ）
A. B. 2 C. D. －2
变式1： （ ）
A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1
变式2： （ ）
A． B． C． D．
根据所给的函数图像比较
变式：函数 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. y
B.
C.
D. O 1 2 3 4 x
EG：求所给函数的导数：
。
变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时, ＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是
A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)
C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
EG：已知函数 .(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点 处的切线的方程.
变式1：已知函数 .
（1）求这个函数在点 处的切线的方程；
（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.
变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )
A. B. C. D. 1
EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
变式1：函数 的一个单调递增区间是
A. B. C. D.
变式2：已知函数
(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则 的是 .
(2)若函数在 上是单调增函数，则 的取值范围是 .
变式3： 设 ，点P（ ，0）是函数 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用 表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数 在（－1，3）上单调递减，求 的取值范围.
EG：求函数 的极值.
求函数 在 上的最大值与最小值..
变式1： 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式2：已知函数 在点 处取得极大值 ，其导函数 的图象经过点 ， ，如图所示.求：
（Ⅰ） 的值；（Ⅱ） 的值.
变式3：若函数 ，当 时，函数 极值 ，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数 有3个解，求实数 的取值范围．
变式4：已知函数 ，对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）2恒成立，求c的取值范围。
EG：利用函数的单调性，证明：
变式1：证明： ，
变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
EG： 函数 若 恒成立,求实数 的取值范围
变式1:设函数 若 恒成立，求实数 的取值范围.
变式2:如图,曲线段OMB是函数 的图象, 轴于点A,曲线段OMB上一点M 处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，
(1)若t已知,求切线PQ的方程 (2)求 的面积的最大值
变式3:用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？
变式4:某厂生产某种产品 件的总成本 （万元），已知产品单价的平方与产品件数 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分）
变式1：计算：；
（1） ；（2）
变式2： 求将抛物线 和直线 围成的图形绕 轴旋转一周得到的几何体的体积.
变式3：在曲线 上某一点A处作一切线使之与曲线以及 轴所围的面积为 ，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.
实战训练
1. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f ¢(x)的图象可能为( )
2. 已知曲线S:y=3x－x3及点 ,则过点P可向S引切线的条数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3. C设S上的切点 求导数得斜率，过点P可求得: .
4. 函数 在下面哪个区间内是增函数（ ）.
5. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于( )
(A)6 (B)0 (C)5 (D)1
6. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( )
(A)1，－1 (B)3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19
7.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点( ,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.
8. 设函数f (x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 .
9．（07湖北）已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则
10．（07湖南）函数 在区间 上的最小值是
11．（07浙江）曲线 在点 处的切线方程是 9．. 已知函数
（Ⅰ）若函数 图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证： ；
（Ⅱ）若 ，函数 图像上任意一点处的切线的斜率为 ，试讨论 的充要条件。
12．(07安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsin cos +4t2+t2-3t+4,x∈R,其中 ≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
实战训练B
1．（07福建）已知对任意实数 ，有 ，且 时， ，则 时（ ）
A． B．
C． D．
2．（07海南）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．（07海南）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．（07江苏）已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（07江西）5．若 ，则下列命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（07江西）若 ，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（07辽宁）已知 与 是定义在 上的连续函数，如果 与 仅当 时的函数值为0，且 ，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是 的极大值，也是 的极大值
B．0是 的极小值，也是 的极小值
C．0是 的极大值，但不是 的极值
D．0是 的极小值，但不是 的极值
8．（07全国一）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（07全国二）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（07浙江）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
11． (07北京) 是 的导函数，则 的值是
12．（07广东）函数 的单调递增区间是
13．（07江苏）已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，则
14．（07福建）设函数 ．
（Ⅰ）求 的最小值 ；
（Ⅱ）若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
15．(07广东)已知 是实数，函数 ．如果函数 在区间 上有零点，求 的取值范围．
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