知识清单
一、向量的有关概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).
2.向量的表示方法:
⑴字母表示法:如 等.
⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如 , 等.
⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量 的起点O为在坐标原点,终点A坐标为 ,则 称为 的坐标,记为 = .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量 与 相等,记为 .
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.
5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.
6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定: 与任一向量共线.
注:共线向量又称为平行向量.
7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
二、向量的运算
(一)运算定义
①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.
刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：
|
运 算 |
图形语言 |
符号语言 |
坐标语言 |
|
加法与减法 |
|
+ =
= |
记 =(x1,y1), =(x1,y2)
则 =(x1+x2,y1+y2)
=（x2-x1,y2-y1） |
|
|
+ = |
|
|
实数与向量的乘积 |
|
=λ
λ∈R |
记 =(x,y)
则λ =(λx,λy) |
|
两个向量的数量积 |
|
|
记
则 · =x1x2+y1y2 |
(二)运算律
加法：① (交换律); ② (结合律)
实数与向量的乘积：① ; ② ;③
两个向量的数量积: ① · = · ; ②(λ )· = ·(λ )=λ( · );③( + )· = · + ·
注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，
例如( ± )2=
(三)运算性质及重要结论
⑴平面向量基本定理:如果 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量 ,有且只有一对实数 ,使 ，称 为 的线性组合。
①其中 叫做表示这一平面内所有向量的基底;
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
这说明如果 且 ,那么 .
③当基底 是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
即若A(x，y)，则 =（x,y）；当向量起点不在原点时，向量 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则 =(x2-x1,y2-y1)
⑵两个向量平行的充要条件
符号语言：
坐标语言为：设非零向量 ,则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2)，
即 ,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0；当 与 异向时,λ<0。|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。
⑶两个向量垂直的充要条件
符号语言：
坐标语言：设非零向量 ，则
⑷两个向量数量积的重要性质：
① 即 (求线段的长度);
② (垂直的判断);
③ (求角度)。
以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
注:①两向量 , 的数量积运算结果是一个数 (其中 ),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.
② 叫做向量 在 方向上的投影（如图）.
数量积的几何意义是数量积 等于 的模与 在 方向上的投影的积.
③如果 , ,则 = ,
∴ ,这就是平面内两点间的距离公式.
课前预习
1．在 中， （ ）
2.平面内三点 ,若 ∥ ，则x的值为( )
(A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5
3. 设 ， ， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①( · ) ( · ) =0 ②| |-| |<| |
③( · ) ( · ) 不与 垂直 ④(3 +2 )·(3 2 )=9| |2- 4 |2中，
真命题是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
4. △OAB中, = , = , = ,若 = ，t∈R，则点P在( )
(A)∠AOB平分线所在直线上 (B)线段AB中垂线上
(C)AB边所在直线上 (D)AB边的中线上
5. 正方形 对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且 =（0，3）， =（4，0），则 =( )
(A)（ ） (B)（ ） (C)（7，4） (D)（ ）
6.已知 ,则实数x=_______.
7.已知 则 _____, ______, 与 的夹角的余弦值是_____.
8．在△ 中, , ,若 ,则 = ▲ .；
9. 已知 的三个顶点分别为 求 的大小.
10. 已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量 坐标。
11.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使| |∶| |=1∶3，| |∶| |=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记 = ， = ，用 ， 表示向量 .
典型例题
一、平面向量的实际背景与基本概念
EG1.如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与 、 、 相等的向量。
变式1：如图1，设O是正六边形的中心，分别写出
图中与 、 共线的向量。
解：
变式2：如图2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与
的模相等的向量以及方向相同的向量。
解：
二、平面向量的线性运算
EG2.
如图，在平行四边形ABCD中， a ， b ，
你能用a，b表示向量 ， 吗？
变式1：如图，在五边形ABCDE中， a ， b ，
c ， d ，
试用a ，b ， c ， d表示向量 和 .
变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若， a ， b
则下列各表述是正确的为（ ）
A． B．
C． a + b D． (a + b)
变式3：已知 =a， =b, =c, =d, 且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A. a+b+c+d=0 B. a－b+c－d=0
C. a+b－c－d=0 D. a－b－c+d=0
变式4：在四边形ABCD中，若 ，则此四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的 （ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式6：在四边形ABCD中， =a+2b， =－4a－b， =－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形
变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则 等（ ）
A.λ( + ),λ∈(0,1) B.λ( + ),λ∈(0, )
C.λ( － ),λ∈(0,1) D.λ( ),λ∈(0, )
变式8：已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且 = ， = ，
= ,则下列各式：① = － ② = + ③ =－ +
④ + + = 其中正确的等式的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
EG3．
如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作 a + b， a + 2b，
a + 3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
变式1：已知 a + 2b， 2a + 4b， 3a + 6b
(其中a 、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线．
证明：∵ a + 2b， 2a + 4b，
∴ 所以，A、B、C三点共线．
变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且 a + b， a + 2b， a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系．
EG4.已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：
变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证： .
三、平面向量的基本定理及坐标表示
EG4.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a // b ，求 y ．
变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
变式2：已知a ，b ，当a+2b与2a－b共线时， 值为 （ ）
A．1 B．2 C． D．
变式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与 方向相反的单位向量是( )
A．(0,1) B．(0,－1) C． (－1,1) D．(1,－1)
变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k为何实数时， ka－b与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？
EG5.设点P是线段 上的一点， 、 的坐标分别为 ， ．
(1) 当点P是线段 上的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段 的一个三等分点时，求P的坐标
变式1：已知两点 ， ， ，则P点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若 ＝a，
＝b，则 ＝ ， ＝ (用a、b表示)
四、平面向量的数量积
EG6.已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为 ，求 (a + 2b)·(a b) ．
变式1：已知 那么 与 夹角为
A、 B、 C、 D、
变式2：已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b）·a等于
（A）15 （B）12 （C）6 （D）3
变式3：在△ABC中，已知| |=4，| |=1，S△ABC= ，则 · 等于（ ）
A.－2 B.2 C.±2 D.±4
变式4：设向量 与向量 的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
EG7.已知|a|＝3，|b| ＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a + kb 与a b互相垂直？
变式1：已知a⊥b ，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b与ka b互相垂直，则k的值为（ ）
A． B． C． D．1
变式2：已知|a|＝1，|b| ＝ 且（a－b）⊥a，则a与b夹角的大小为 ．
EG8.已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标．
变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是 ( )
A．3i+2j B．－2i+3j C．－3i+2j D．2i－3j
变式2：已知向量 ， ，若 与 垂直，则实数 =（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．2
变式3：若非零向量 互相垂直，则下列各式中一定成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
变式4：已知向量a＝（3，－4），b＝（2，x）， c＝（2，y）且a∥b，a c．求|b－c|的值．
EG9.已知A (1，2)，B (2，3)，C ( ，5)，试判断 的形状，并给出证明．
变式1： 是 所在的平面内的一点，且满足 ，则
一定为（ ）
A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
变式2：已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若 ＋ ＋ ＝0，则O是△ABC的（ ）
A． 重心 B． 垂心 C． 内心 D． 外心
变式3：已知 ，则△ABC一定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
变式4：四边形 中，
（1）若 ，试求 与 满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有 ，求 的值及四边形 的面积。
五、平面向量应用举例
EG10.题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍
变式1：如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，
求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
变式2：已知△ABC中， ，若 ，求证：△ABC为正三角形.
变式3：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证 .
变式4：四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：
实战训练
1.（08全国一3）在 中， ， ．若点 满足 ，则
A． B． C． D．
2.（08安徽卷3）．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 ， ,则 （ ）
A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）
3.（08湖北卷1）设 , , 则 C
A. B. C. D.
4.（08湖南卷7）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且 则 与 ( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
5.（08陕西卷15）关于平面向量 ．有下列三个命题：
①若 ，则 ．②若 ， ，则 ．
③非零向量 和 满足 ，则 与 的夹角为 ．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
6.（08广东卷8）在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7.（08浙江卷9）已知 ，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ,则 的最大值是
（A）1 （B）2 （C） （D）
8.（08辽宁卷5）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9.（08海南卷8）平面向量 ， 共线的充要条件是（ ）
A. ， 方向相同 B. ， 两向量中至少有一个为零向量
C. ， D. 存在不全为零的实数 ， ，
10.（08上海卷5）若向量 ， 满足 且 与 的夹角为 ，则 ．
11.（08全国二13）设向量 ，若向量 与向量 共线，则 ．
12.（08北京卷10）已知向量 与 的夹角为 ，且 ，那么 的值为 ．
13.（08天津卷14）已知平面向量 ， ．若 ，则 _____________．
14.（08江苏卷5） ， 的夹角为 ， ， 则 ▲ ．
15.（08江西卷13）直角坐标平面上三点 ，若 为线段 的三等分点，则 = ．
16．（08海南卷13）已知向量 ， ， 且 ，则 = _____
17（08福建卷17）已知向量m=(sinA,cosA),n= ，m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数 的值域.
18.在 中，角A、B、C的对边分别为 ，已知向量
且满足 ，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若 试判断 的形状。
19.已知向量 ，若函数 的图象经过点 和
（I）求 的值；
（II）求 的最小正周期，并求 在 上的最小值；
（III）当 时，求 的值．
20.在 中， 所对边分别为 .已知
,且 .
（Ⅰ）求 大小.
（Ⅱ）若 求 的面积S的大小.
21.已知向量 ， ，记 ．
（1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；
（2）若 ，且 ，求 ．
22.已知向量 , , ,设 .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期.
(Ⅱ)若 ,且 ,求 的值.
23.（2007年陕西卷理17.）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点 ，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
24.(07年陕西卷文17）.设函数 .其中向量
.
（Ⅰ）求实数 的值; （Ⅱ）求函数 的最小值.
|
